ในตอนที่ครอบครัวของริชาร์ดเริ่มวาดฝันถึงอนาคต วงการคณิตศาสตร์โลกก็เดือดพล่านขึ้นมาอย่างกะทันหันโดยไม่มีลางบอกเหตุใดๆ!
สาเหตุเริ่มต้นคือเถาซวนจือเผยแพร่จดหมายฉบับหนึ่งที่เฉียวอวี้ส่งให้บนบล็อกของเขา
การที่นักคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จมักจะพูดคุยและถกปัญหาคณิตศาสตร์ผ่านทางอีเมลกันเป็นเรื่องปกติมาก ยิ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจก็ยิ่งเป็นเช่นนั้น
อีกทั้งในสายตาคนนอก อันที่จริงแล้วทั้งสองคนควรจะคุยกันถูกคอในระดับหนึ่ง อย่างเช่น ตอนเด็กๆ ล้วนเป็นเด็กอัจฉริยะ โตขึ้นมาก็ไม่ได้สูญเปล่า
โดยเฉพาะอย่างยิ่งการที่ทั้งคู่ล้วนมีความรู้ในระดับคณิตศาสตร์อย่างกว้างขวาง
ยิ่งไม่ต้องพูดถึงว่าก่อนที่เฉียวอวี้จะได้รับการยอมรับจากวงการคณิตศาสตร์โลกอย่างกว้างขวาง เถาซวนจือก็ประเมินดาวรุ่งพุ่งแรงคนนี้ไว้สูงมากแล้ว
การให้การสนับสนุนเฉียวอวี้มากกว่าหนึ่งครั้งคือหลักฐานที่ชัดเจน การที่ทั้งสองคนจะมีการติดต่อกันเป็นการส่วนตัว เดิมทีก็เป็นเรื่องที่ทุกคนคาดหวังไว้อยู่แล้ว
แต่สิ่งที่ทำให้เกิดความฮือฮาในวงการคณิตศาสตร์ ก็ยังคงเป็นเพราะปัญหาที่พูดคุยกันในจดหมายฉบับนี้ การไหลปั่นป่วนกับสมการ N-S!
หลังจากผ่านไปเจ็ดปี ในที่สุดเฉียวอวี้ก็ลงมือกับคณิตศาสตร์อีกครั้ง
เนื้อหาในจดหมายมีดังนี้:
คุณเถาซวนจือ: หวังว่าคุณจะสบายดีเมื่อได้รับจดหมายฉบับนี้
เมื่อไม่กี่วันก่อนหยวนเหล่าได้คำนวณดูแล้ว คิดว่าผมมีศักยภาพในการแก้ปัญหาแก่นแท้ของการไหลปั่นป่วน ดังนั้นช่วงนี้ผมจึงเอาแต่ขบคิดเรื่องการไหลปั่นป่วน และเรื่องความราบเรียบและความเป็นเอกลักษณ์ของสมการ N-S
ต้องบอกเลยว่านี่เป็นปัญหาที่น่าสนใจมากจริงๆ บังเอิญว่าตอนที่ผมกำลังศึกษากับปัญหานี้ ก็ได้เห็นวิทยานิพนธ์ที่คุณตีพิมพ์ในวารสารของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันในปี 2014 พอดี "การระเบิดในเวลาจำกัดของผลเฉลยเฉลี่ยของสมการ N-S สามมิติ"
ดังนั้นผมจึงเขียนจดหมายฉบับนี้เพื่อพูดคุยถึงแนวคิดล่าสุดของผมเกี่ยวกับสมการ N-S สามมิติ
ตัวดำเนินการเชิงเส้นคู่ของออยเลอร์เวอร์ชันเฉลี่ยที่คุณสร้างขึ้นในวิทยานิพนธ์ ได้พิสูจน์แล้วว่าสำหรับระบบการไหลปั่นป่วนที่มีค่าเริ่มต้น u0 จะระเบิดในเวลาที่จำกัด
ผมทำความเข้าใจมันคร่าวๆ ว่า หุ่นยนต์ A ทำโคล่าหกหนึ่งขวด ดังนั้นเขาจึงคัดลอกตัวเองเป็นหุ่นยนต์ B เพื่อไปเก็บกวาดสถานการณ์ หุ่นยนต์ B ก็คัดลอกหุ่นยนต์ C ออกมาทำความสะอาดอีก...
คัดลอกต่อไปเรื่อยๆ แบบนี้ จนกระทั่งหุ่นยนต์ X ปล่อยพลังงานการระเบิดออกมาโดยตรง โคล่าที่หกถูกทำความสะอาดจนหมด และหุ่นยนต์ทั้งหมดก็ไม่มีอยู่อีกต่อไป
ผมคิดว่ามันน่าสนใจมาก งานวิจัยของคุณทำให้แนวคิดในการวิจัยเกี่ยวกับสมการ N-S ชนิดหนึ่งหมดโอกาสที่จะได้รับการพิสูจน์ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา และยังให้แรงบันดาลใจแก่ผมอย่างมาก นั่นคือในขั้นตอนการพิสูจน์จะต้องมีวิธีในการแยกแยะตัวดำเนินการดั้งเดิมและตัวดำเนินการเฉลี่ย
นี่ก็ทำให้เรขาคณิตเชิงพีชคณิตของเฉียวได้มีโอกาสนำมาใช้อีกครั้ง
ภายใต้กรอบงานการวิเคราะห์แบบดั้งเดิม ตัวดำเนินการดั้งเดิมและตัวดำเนินการเฉลี่ยจะสร้างความขัดแย้งที่ไม่สามารถประนีประนอมกันได้ในปริภูมิบานาค เหมือนกับกลไกการระเบิดที่คุณได้เปิดเผยออกมา
แต่ถ้าหากเราฉายภาพหน่วยสนามความเร็ว u(x, t) แต่ละหน่วยไปยังปริภูมิแบบมอดอล (α, β) ผ่านการฉายภาพแบบมอดอลของ N_α, β(u) ก็จะสามารถสร้างรูปแบบเชิงเส้นคู่แบบใหม่ที่มีลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้ได้:
B(u, v)=⊕_{γ∈Γ}[N_{α+γ, β}(u)_Ω_γ N_{α, β-γ}(v)]
ซึ่งในนั้น Γ ก็คือช่วงความถี่วิกฤตที่คุณกำหนดไว้ในวิทยานิพนธ์ ตอนนี้ขอให้คุณและผมลืมขอบเขตระหว่างพื้นผิวรีมันน์กับปริภูมิแบบยุคลิดไปก่อนชั่วคราว
มาชื่นชมความประณีตของโครงสร้างนี้กันเถอะ!
เชื่อว่านายคงพบแล้วว่า เมื่อ γ เข้าใกล้เกณฑ์การระเบิด องค์ประกอบแบบมอดอล N_{α+γ,β}(u) ที่สอดคล้องกันจะสลายตัวไปโดยอัตโนมัติเนื่องจากข้อกำหนดด้านสมบัติออโตมอร์ฟิกของมันเอง โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้ได้เปลี่ยนการระเบิดของหุ่นยนต์ X ที่นายพบ ให้กลายเป็นกฎการอนุรักษ์ในปริภูมิแบบมอดอล
ตอนนี้เรามาทบทวนทฤษฎีบทการอนุรักษ์แบบมอดอลในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของเฉียวกัน
หากเขียนเงื่อนไขเริ่มต้น u0 ใหม่เป็น N_α,β(u0)=⊕[φ_kψ_l] โดยที่ φ_k แต่ละตัวมีความพึงพอใจต่อเงื่อนไขความเสถียรของหน่วยแบบมอดอล ‖N_α,β(φ_k)‖≡1 เช่นนั้นสายโซ่การถ่ายโอนพลังงานจะเกิดการกลับทิศทางของแมนิโฟลด์พารามิเตอร์ M อย่างแน่นอนในขั้นตอนที่ k+l≤dimM
เพื่อการนี้ฉันจึงสร้างคลาสลักษณะเฉพาะพิเศษบนแมนิโฟลด์แบบมอดอล M และพิสูจน์แล้วว่าคำตอบใดๆ ที่ทำให้เกิดภาวะเอกฐานในเวลาจำกัด จะละเมิดทฤษฎีบทความเป็นหน่วยแบบมอดอลของ N_α,β(1) อย่างแน่นอน
แน่นอน เชื่อว่าเมื่ออ่านมาถึงตรงนี้นายคงพบปัญหาแล้ว!
แนวคิดของฉันยังมีช่องโหว่ร้ายแรงอีกสองจุดที่ยังไม่สามารถตรวจสอบได้ จุดแรกคือจะฝังพจน์ความหนืด Δu ลงในเทนเซอร์ความโค้งของปริภูมิแบบมอดอลได้อย่างไร ส่วนอีกจุดคือฉันยังไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของคำตอบการระเบิดเมื่อพารามิเตอร์แบบมอดอล (α,β)→(0,π/2) ได้
อันที่จริงฉันได้ขอยืมซูเปอร์คอมพิวเตอร์จำลองควอนตัมมาทำการแยกส่วนแบบมอดอลของกระแสน้ำวนเอกฐานหลายครั้งแล้ว แต่เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ในปัจจุบันยังไม่มีหลักฐานที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นรูปธรรมว่ามันมีคำตอบที่ราบเรียบและความเป็นหนึ่งเดียว
ดังนั้นต้องมีจุดที่ฉันยังนึกไม่ถึงอย่างแน่นอน ถ้านายไม่ยุ่ง บางทีเราอาจจะหารือเกี่ยวกับสองปัญหานี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นด้วยกันได้
หากทีมของนายมีเวลาว่างก็สามารถเข้าร่วมการคำนวณได้เช่นกัน ให้พวกเราพยายามด้วยกัน เพื่อไขปริศนาที่ยังหาคำตอบไม่ได้นี้ให้สำเร็จโดยเร็ว
ป.ล. ที่จริงฉันก็อยากพักผ่อนแหละ แต่อาจารย์ของฉันกับผู้อาวุโสหยวนเหล่ารู้สึกว่าฉันพักผ่อนมานานเกินไปแล้ว! พวกเขาตั้งความหวังกับฉันไว้สูงมาก ทำให้ฉันไม่สะดวกที่จะอู้งาน
ดังนั้นช่วยคิดหาวิธีให้ฉันหน่อยเถอะ! อีกอย่างฉันมีลางสังหรณ์ว่าเมื่อเราเข้าใจแก่นแท้ของการไหลปั่นป่วนอย่างถ่องแท้ หรือจะเรียกว่าเป็นแก่นแท้ทางคณิตศาสตร์ก็ได้ เราจะสามารถบุกเบิกเส้นทางใหม่ในแวดวงการบินและอวกาศได้ และบนเส้นทางนั้นจะมีชื่อของพวกเราอยู่
……
หลังจากที่เถาซวนจือนำจดหมายฉบับนี้มาเปิดเผยบนบล็อก เขาก็ได้แนบความคิดเห็นของตัวเองไว้ด้านล่างด้วย
"แม้ว่าเฉียวอวี้จะวาดฝันไว้ให้ฉันซะสวยหรู แต่ฉันพบว่าด้วยคลังความรู้อันตื้นเขินของฉัน เกรงว่าคงไม่สามารถทำงานที่เขามอบหมายให้สำเร็จลุล่วงได้ด้วยตัวคนเดียว
ดังนั้นถ้าใครมีไอเดียที่ดีกว่านี้ บางทีเราอาจจะเอามาหารือร่วมกันได้ โดยเฉพาะปัญหาที่ว่าจะฝังพจน์ความหนืด Δu ลงในเทนเซอร์ความโค้งของปริภูมิแบบมอดอลได้อย่างไร
Δu เป็นตัวแทนของปรากฏการณ์การแพร่กระจายของสนามความเร็ว บทบาทของมันในปริภูมิมักจะเกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามความเร็ว พูดให้เห็นภาพก็คือ พจน์ความหนืดเป็นตัวควบคุมความราบเรียบของสนามความเร็ว
แต่ในกรอบงานของปริภูมิแบบมอดอล พจน์ความหนืดไม่เพียงแต่ต้องพิจารณาเกรเดียนต์ของสนามความเร็วเท่านั้น แต่ยังต้องพิจารณาว่ามันมีปฏิสัมพันธ์กับโครงสร้างแบบมอดอลอย่างไรด้วย
นี่จะไปเกี่ยวข้องกับวิธีการแมปการแปลงในปริภูมิเหล่านี้เข้ากับปริภูมิแบบมอดอล และทำความเข้าใจว่าการแปลงเหล่านี้ส่งผลต่อคุณสมบัติของคำตอบอย่างไร
นอกจากนี้ เราจะสามารถเข้าใจได้ไหมว่าปริภูมิแบบมอดอลคือปริภูมิหนึ่งหลังจากทำการฉายสนามความเร็วลงไปแล้ว โดยที่แต่ละมอดอลจะสอดคล้องกับฟังก์ชันฐานหรือความถี่ที่เฉพาะเจาะจง
เช่นนั้นในปริภูมิดังกล่าว ความซับซ้อนของปัญหาอาจจะลดลง เพราะองค์ประกอบต่างๆ ในปริภูมิแบบมอดอลสามารถมองได้ว่าเป็นการแสดงออกหรือการแยกส่วนของคำตอบแบบหนึ่ง
แต่เทนเซอร์ความโค้งในปริภูมิแบบมอดอลนั้นเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของสมการพลศาสตร์ของไหล โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนแปลงและปฏิสัมพันธ์ของสนามความเร็วในทิศทางที่ต่างกัน
ดังนั้นไอเดียเบื้องต้นของฉันคือมองว่าพจน์ไม่เชิงเส้นของสมการพลศาสตร์ของไหลเป็นวัตถุทางเรขาคณิต คล้ายกับแมนิโฟลด์บนกรุปหลี่หรือระบบกลศาสตร์ทั่วไปในระเบียบวิธีแปรผัน
เช่นนั้นภายใต้กรอบงานนี้ บทบาทของพจน์ความหนืดจะสามารถอธิบายผ่านเทนเซอร์ความโค้งได้ เพื่อดักจับพฤติกรรมการแพร่ของของไหลภายใต้มอดอลที่แตกต่างกัน
แต่ก็พอจะจินตนาการได้ว่า เทนเซอร์ความโค้งในปริภูมิแบบมอดอลคือคุณลักษณะทางเรขาคณิตเฉพาะที่ของสนามความเร็วในปริภูมินั้น ส่วนพจน์ความหนืดก็อาจส่งผลต่อการแผ่ขยายและการเปลี่ยนแปลงของคุณลักษณะทางเรขาคณิตเหล่านี้
ดังนั้น การฝังพจน์ความหนืดเข้าไปในกรอบงานของเทนเซอร์ความโค้ง อาจหมายความว่าจำเป็นต้องสร้างตัวดำเนินการไม่เชิงเส้นทางเรขาคณิตขึ้นมา ตัวดำเนินการนี้จำเป็นต้องจับการเปลี่ยนแปลงของสนามความเร็วและพฤติกรรมการแพร่กระจายของมันได้อย่างเฉียบคม
เห็นได้ชัดว่ามันยากมาก! หากคุณมีไอเดียที่ดีกว่า โปรดทิ้งข้อความไว้ใต้บล็อก หรือส่งอีเมลมาหาผมหรือเฉียวอวี้โดยตรง! แต่เห็นได้ชัดว่าเรื่องนี้ไม่ได้เป็นเพียงอย่างที่เฉียวอวี้พูด หรือจะบอกว่าเขายังถ่อมตัวเกินไปหน่อย...
ผมเชื่อว่าถ้าสามารถแก้ปัญหานี้ได้จริงๆ จะไม่ได้ทิ้งชื่อไว้แค่ในแวดวงอวกาศในอนาคตอย่างแน่นอน แต่จะทิ้งชื่อไว้ในหลากหลายวงการเลยทีเดียว!”
……
บอกได้คำเดียวว่าเถาซวนจือเก่งเรื่องการโยนปัญหาออกไปจริงๆ จากนั้นก็ระดมความคิดเห็น แต่เห็นได้ชัดว่าแท้จริงแล้วมันยากกว่าปัญหาอื่นๆ ที่เขาเคยเปิดเผยออกมามาก!
เอาเถอะ นี่ดูเหมือนจะเป็นคำพูดไร้สาระ!
ถ้ามันไม่ยาก ก็คงไม่ถูกจัดให้เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหามิลเลนเนียมทางคณิตศาสตร์หรอก
สิ่งที่ทำให้นักคณิตศาสตร์นับไม่ถ้วนทั่วโลกถึงกับพูดไม่ออกก็คือ พอเฉียวอวี้ลงมือปุ๊บก็ทำให้ปัญหา N-S ง่ายลงทันที
ในทางทฤษฎีแล้ว หากทำการอนุมานตามวิธีที่เฉียวอวี้ให้มา ก็สามารถพิสูจน์ได้แล้วว่าสมการ N-S มีผลเฉลยแบบเรียบและมีผลเฉลยที่เป็นเอกลักษณ์
ก็แค่ต้องแก้ปัญหาในใจสองข้อที่เขาพูดถึงซึ่งยังไม่สามารถตรวจสอบได้ในตอนนี้เท่านั้นเอง
แต่ก็อย่างที่บอก ความหมายที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของการแก้ปัญหาระดับโลกเหล่านี้ แท้จริงแล้วไม่ใช่การแก้ตัวปัญหาเอง แต่เป็นแนวคิดในการแก้ปัญหาที่สามารถมอบเครื่องมือและมุมมองใหม่ๆ ให้ผู้คนได้ทำความเข้าใจกับสิ่งที่เป็นแก่นแท้บางอย่างของโลกใบนี้
วิธีที่เฉียวอวี้ผสานสมการ N-S เข้ากับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตของเฉียวและปริภูมิเฉียวอย่างแยบยล เป็นการเปิดหน้าต่างบานหนึ่งให้กับนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกอย่างไม่ต้องสงสัย!
หากพูดด้วยภาษาที่คนทั่วไปสามารถเข้าใจได้ สิ่งที่เฉียวอวี้กำลังทำอยู่คือการปฏิวัติทางคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่ง หรือให้เจาะจงกว่านั้นคือการปฏิวัติการทำให้เป็นมอดอลของการวิเคราะห์ทอพอโลยี และถึงขั้นเกี่ยวข้องกับการยกระดับความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับแก่นแท้ทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนการก้าวกระโดดของกระบวนทัศน์ทางเครื่องมือที่มีเหตุผล
นี่ถือเป็นการละลายกำแพงกั้นระหว่างสาขาวิชาอย่างไม่ต้องสงสัย หรือแม้แต่เป็นการเปิดฉากการโจมตีแบบลดมิติใส่คณิตศาสตร์การคำนวณอีกครั้ง!
นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่สามารถอ่านจดหมายฉบับนี้และบทวิเคราะห์ของเถาซวนจือเข้าใจต่างก็คงมีความรู้สึกเช่นนี้
เพราะแก่นแท้ของวิธีที่เฉียวอวี้เสนอมานี้ แท้จริงแล้วสามารถทำความเข้าใจได้ว่าเป็นการแปลโครงสร้างเชิงอนุพันธ์ของปริภูมิทางฟิสิกส์ให้กลายเป็นตัวยืนยงทางทอพอโลยีของปริภูมิแบบมอดอลโดยตรง
เมื่อเหล่านักคณิตศาสตร์ตระหนักได้ว่าพจน์ไม่เชิงเส้นของสมการ N-S สามารถนำเสนอเป็นภาคตัดของไฟเบอร์บันเดิลบนท่อร่วมพารามิเตอร์ M ได้ ในความเป็นจริงแล้วนี่คือการสร้างสะพานควอนตัมระหว่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
เช่นเดียวกับที่ไมเคิล อาทิยาและอิซาดอร์ ซิงเกอร์ได้บุกเบิกทฤษฎีบทดัชนี Atiyah-Singer ซึ่งรวมการวิเคราะห์และทอพอโลยีเข้าด้วยกันในอดีต วิธีวิทยาเชิงปริภูมิชุดนี้ของเฉียวอวี้ก็กำลังสร้างความเป็นคู่เชิงลึกระหว่างพลศาสตร์และเรขาคณิต
ต้องรู้ไว้ว่าในการวิเคราะห์แบบดั้งเดิม มักจะมองว่าภาวะเอกฐานของการไหลปั่นป่วนเป็นความหายนะ แต่ภายใต้กรอบงานมอดอล N_α,β จุดระเบิดเหล่านี้กลับกลายเป็นแหล่งกำเนิดวิกฤตที่สร้างการส่งผ่านแบบคอนฟอร์มัลของปริภูมิแบบมอดอลพอดี
จะพูดยังไงดีล่ะ ในตอนที่เรขาคณิตนอกระบบยุคลิดปรากฏตัวขึ้นมาอย่างกะทันหันในอดีต มันคือการตีความสัจพจน์เส้นขนานใหม่โดยตรง สถานการณ์ในตอนนี้ความจริงก็คล้ายคลึงกัน
นักคณิตศาสตร์ไม่ต้องต่อสู้เอาเป็นเอาตายกับภาวะเอกฐานที่มีอยู่ทุกหนทุกแห่งอีกต่อไป แต่จะเปลี่ยนมันให้กลายเป็นตัวปรับมิติใหม่โดยตรงผ่านการปรับพารามิเตอร์ (α, β)
สเปกตรัมพลังงานของการไหลปั่นป่วนที่เดิมทีสับสนวุ่นวาย ถูกรื้อโครงสร้างให้เป็นการสั่นพ้องแบบอาพันธ์ของชั้นมอดอลที่นับได้ ที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่าคือ เมื่อมีคนทดลองตรวจสอบตามแนวคิดนี้ วิธีนี้สามารถให้การตีความทางทอพอโลยีต่อกฎมาตราส่วนของคอลโมโกรอฟได้ เขตเฉื่อยจะสอดคล้องกับเขตเส้นจีโอเดสิกหนาแน่นของท่อร่วมพารามิเตอร์ M ในขณะที่เขตสูญเสียพลังงานคือรอยพับรีมันน์ที่ความโค้งของมันปะทุขึ้นมา...
หรืออาจไม่หยุดอยู่เพียงแค่นี้...
โครงสร้างกระแสน้ำวนเทียบเท่ากับตัวหารพิเศษบนพื้นผิวเชิงซ้อน การมีอยู่ของผลเฉลยแบบอ่อนของเลอเรย์สอดคล้องกับสมมาตรกระจกเงาของแมนิโฟลด์คาลาบี-เยา ความผันผวนของการไหลปั่นป่วนถูกแยกส่วนเป็นการซ้อนทับ ⊕ ของชั้นลักษณะเฉพาะแบบมอดอล ความเรียบเนียนถูกนิยามใหม่ให้เป็นความเชื่อมโยงกันของแมนิโฟลด์พารามิเตอร์...
ดังนั้นบทพิสูจน์การมีอยู่จึงสามารถทำความเข้าใจได้ว่า วิถีของการไหลปั่นป่วนจะต้องผ่านแผ่นตัดสามมิติอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้...
ใช่แล้ว เฉียวอวี้เพียงแค่ส่งจดหมายให้เถาซวนจือฉบับเดียว ก็ทำให้วงการคณิตศาสตร์ทั้งวงการเดือดพล่านขึ้นมาอย่างเต็มที่ในอีกหนึ่งเดือนต่อมา!
ใช่ ไม่ใช่แค่ความคึกคัก ไม่ใช่แค่การถกเถียง แต่เป็นการเดือดพล่าน! การถกเถียงในระดับลึกซึ้งต่างๆ ถึงขั้นลุกลามไปยังแวดวงปรัชญาโดยตรง
ท้ายที่สุดแล้ว วิธีการใช้ความโค้งของแมนิโฟลด์มาเข้ารหัสการกระจายพลังงานเนื่องจากความหนืดที่เฉียวอวี้เสนอขึ้นมา ได้ชี้ให้เห็นโดยตรงถึงสภาวะสมสัณฐานเหนือธรรมชาติระหว่างคณิตศาสตร์กับฟิสิกส์
ซึ่งก็หมายความว่ามนุษยชาติอาจจะไม่มีวันรู้ได้อย่างแน่ชัดเลยว่า แท้จริงแล้วคณิตศาสตร์คือสิ่งที่ถูกค้นพบ หรือคณิตศาสตร์เป็นเพียงสิ่งที่มนุษย์นิยามขึ้นเองเพื่อสร้างการรับรู้ของอารยธรรมมนุษย์ขึ้นมาใหม่กันแน่
และเหตุผลที่มีช่วงเวลาทิ้งห่างถึงหนึ่งเดือน หลักๆ เป็นเพราะในช่วงแรก แทบจะไม่มีใครอ่านเนื้อหาที่พวกเขาสองคนคุยกันรู้เรื่องเลยจริงๆ
ในช่วงหนึ่งเดือนนี้ ผู้ยิ่งใหญ่ระดับตัวจริงเสียงจริงหลายต่อหลายคนต้องกระโดดออกมาอธิบายและตรวจสอบด้วยวิธีต่างๆ ถึงจะสามารถลดทอนเนื้อหาที่มีความหนาแน่นของข้อมูลมหาศาลในจดหมายออกมาทีละขั้นตอน จนกลายเป็นเนื้อหาที่ทุกคนพอจะทำความเข้าใจได้
อย่างเช่น "ห่วงโซ่การถ่ายโอนพลังงานจะเกิดการย้อนกลับทิศทางของแมนิโฟลด์พารามิเตอร์ M อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ในขั้นตอนที่ k+l≤dimM..."
เฉียวอวี้เพียงแค่เขียนอธิบายผ่านๆ ไปด้วยประโยคสั้นๆ ประโยคเดียวในจดหมาย แต่แท้จริงแล้วเนื้อหาที่เกี่ยวข้องนั้นครอบคลุมถึงการบีบอัดปริมาตรของอนุภาคของไหลอย่างไม่มีที่สิ้นสุดภายในระยะเวลาที่จำกัด
รวมไปถึงหลังจากนำวิธีของเฉียวอวี้เข้ามาจัดการโดยตรง แล้วทำให้ภาวะเอกฐานในปริภูมิทางฟิสิกส์ดั้งเดิมเปลี่ยนเป็นขั้วที่ราบเรียบบนแมนิโฟลด์ M...
การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ก็คือ: เงื่อนไขการระเบิดของสมการ N-S ดั้งเดิม ‖u(t)‖→∞ ถูกแปลงให้กลายเป็น: ∫_{M} N_α,β(u) dσ= 0...
เมื่อฟลักซ์เป็นศูนย์ปรากฏขึ้นที่ขอบเขตของแมนิโฟลด์พารามิเตอร์ การระเบิดในปริภูมิทางฟิสิกส์จะถูกยับยั้งอย่างแน่นอน
และเนื้อหาเพียงแค่ส่วนนี้ส่วนเดียว ก็สามารถนำไปเขียนเป็นวิทยานิพนธ์ทางคณิตศาสตร์ความยาวเกือบร้อยหน้าได้เลย!
สิ่งนี้ยังช่วยอธิบายด้วยว่าเหตุใดกระแสน้ำในมหาสมุทรของจริง ถึงไม่มีทางระเบิดออกโดยไม่มีสัญญาณเตือนล่วงหน้าเพียงเพราะการไหลปั่นป่วนเล็กๆ ทว่าพลังงานที่สะสมไว้จะหลั่งไหลออกไปผ่านช่องทางใดช่องทางหนึ่งในท้ายที่สุด...
มีหลายสิ่งหลายอย่างที่จำเป็นต้องมีคนมาอธิบายทางคณิตศาสตร์แบบนี้มากเกินไป! หากไม่มีผู้ยิ่งใหญ่เหล่านี้คอยตีพิมพ์บทความเพื่ออธิบายอย่างใจเย็น นักคณิตศาสตร์หลายคนก็คงไม่มีทางอ่านเข้าใจว่าเฉียวอวี้กำลังคุยเรื่องอะไรกับเถาซวนจือกันแน่
ถึงขั้นมีคนนำเนื้อหาที่พวกผู้ยิ่งใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์อธิบายเอาไว้มาสรุปผล แล้วทำเป็นตารางเทียบเคียงออกมาโดยตรง
ตัวอย่างเช่น การยืดตัวของกระแสน้ำวนในการไหลปั่นป่วน ก็มีค่าประมาณการเปลี่ยนรูปแบบซิมเพลกติกของโครงสร้างเชิงซ้อนในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งส่วนอธิบายสมการแบบมอดอลที่สอดคล้องกันก็คือ _tω= N_α,β(ω)v
หรืออีกตัวอย่างคือการกระจายพลังงานเนื่องจากความหนืด จะสอดคล้องกับการแพร่กระจายแบบแอนไอโซทรอปิกของความโค้งริชชี โดยส่วนของสมการแบบมอดอลคือ νΔu Ric(g_{αβ})...
จากเรื่องราวทั้งหมดนี้ เมื่อผู้คนค่อยๆ ปะติดปะต่อเรื่องราวทีละขั้นตอนจนกระจ่างชัด ว่าเฉียวอวี้พยายามใช้วิธีทางคณิตศาสตร์มาอธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์โดยตรง ย่อมทำให้วงการคณิตศาสตร์แสดงท่าทีแตกตื่นลุกเป็นไฟขึ้นมาทีละน้อย...
ก็ช่วยไม่ได้ นี่คือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอจะทำให้วงการคณิตศาสตร์ประยุกต์ทั้งวงการต้องคลั่งไคล้ไปกับมันอย่างแท้จริง!
หากเฉียวอวี้ใช้วิธีนี้มาตีแผ่โครงสร้างของสมการ N-S ได้จริงๆ นั่นก็หมายความว่าในอนาคต นักคณิตศาสตร์ประยุกต์อาจจะสามารถข้ามวิชาฟิสิกส์ไปได้เลยในระดับหนึ่ง เพื่อไปตีแผ่โครงสร้างของธรรมชาติ และจำลองรูปแบบของธรรมชาติขึ้นมาใหม่...
ดังนั้นในประเด็นนี้ สิ่งที่เถาซวนจือพูดเอาไว้ย่อมถูกต้องที่สุด!
หากสามารถจัดการกับปัญหานี้ได้จริงๆ สิ่งที่จะได้รับผลกระทบจะต้องไม่ใช่แค่วงการการบินและอวกาศเพียงอย่างเดียวแน่นอน!
