นอกบ้าน
เมื่อเห็นเสี่ยวหนิววิ่งกลับเข้าไปในบ้านอย่างเร่งรีบ สวีหยุนก็ตระหนักถึงอะไรบางอย่างได้ลางๆ เขาจึงรีบก้าวตามเข้าไป
"ปัง——"
ทันทีที่เข้าไปในบ้าน สวีหยุนก็ได้ยินเสียงของหนักกระแทก
เขามองตามเสียงไป ก็เห็นเสี่ยวหนิวกำลังยืนอยู่ข้างโต๊ะหนังสือด้วยสีหน้าหงุดหงิด มือซ้ายกำหมัดแน่น ข้อนิ้วกดลงบนโต๊ะอย่างแรง
เห็นได้ชัดว่าเมื่อครู่นี้เสี่ยวหนิวเพิ่งจะชกโต๊ะตัวนี้ไปเต็มแรง
สวีหยุนเห็นดังนั้นจึงเดินเข้าไปถามว่า
"นายนิวตัน คุณเป็นอะไรไป..."
"นายไม่เข้าใจหรอก"
เสี่ยวหนิวโบกมืออย่างรำคาญใจเล็กน้อย แต่ไม่กี่วินาทีต่อมาเขาก็นึกอะไรขึ้นได้
"เฟยอวี๋ นาย—หรือท่านเซอร์หานลี่คนนั้น มีความรู้เรื่องเครื่องมือทางคณิตศาสตร์บ้างไหม?"
สวีหยุนแกล้งทำหน้าซื่อตาใสจ้องมองเขาอีกครั้งพลางถามว่า
"เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เหรอ? คุณหมายถึงไม้บรรทัด? หรือว่าวงเวียนล่ะ?"
เมื่อได้ยินคำพูดนี้ หัวใจของเสี่ยวหนิวก็เย็นวาบไปครึ่งหนึ่ง แต่พูดมาถึงขนาดนี้แล้วจะหยุดกลางคันก็ไม่ได้ เขาจึงพูดต่อ
"ไม่ใช่เครื่องมือในโลกความเป็นจริง แต่เป็นทฤษฎีชุดหนึ่งที่สามารถคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงได้ต่างหาก
อย่างเช่นปรากฏการณ์การกระจายแสงเมื่อครู่นี้ มันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะหนึ่ง หรืออาจจะเกี่ยวข้องกับอนุภาคบางอย่างที่มองไม่เห็นด้วยตาเปล่าด้วยซ้ำ
และเพื่อที่จะคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้ เราจำเป็นต้องใช้เครื่องมืออีกชนิดหนึ่งที่สามารถสะสมต่อเนื่องได้ เพื่อไปคำนวณผลคูณของมุมหักเห
ยกตัวอย่างเช่น a+b คูณกัน n ตัว ก็คือผลคูณของการดึงตัวอักษร a หรือ b ออกมาจาก a+b เช่น (a+b)^2=a^2+2ab+b^2... ช่างเถอะ ฉันเดาว่านายคงฟังไม่เข้าใจหรอก"
สวีหยุนมองเขาด้วยรอยยิ้มที่มีเลศนัยแล้วพูดว่า
"ผมฟังเข้าใจสิ สามเหลี่ยมหยางฮุยไง"
"อืม ถ้างั้นก็เตรียมตัวเถอะ เดี๋ยวเราจะไปหาลุงวิลเลียม... เดี๋ยวนะ นายพูดว่าอะไรนะ?"
เดิมทีเสี่ยวหนิวกำลังพูดตามความคิดของตัวเอง พอได้ยินคำพูดของสวีหยุนชัดๆ เขาก็ชะงักไปทันที จากนั้นก็เงยหน้าขึ้นขวับ จ้องมองอีกฝ่ายเขม็ง
"หยางเฟยซานเจี่ยว? มันคืออะไร?"
สวีหยุนครุ่นคิดเล็กน้อย ก่อนจะยื่นมือไปหาเสี่ยวหนิว
"ช่วยส่งปากกาให้ผมหน่อยได้ไหมครับ นายนิวตัน?"
หากเป็นเมื่อหนึ่งวันก่อน ซึ่งก็คือตอนที่เสี่ยวหนิวเพิ่งเจอกับสวีหยุน คำขอของสวีหยุนนี้จะต้องถูกเสี่ยวหนิวปฏิเสธอย่างแน่นอนร้อยเปอร์เซ็นต์
แถมอาจจะโดนตอกกลับมาอีกประโยคว่า 'นายคู่ควรเหรอ?' ด้วยซ้ำ
แต่หลังจากการอนุมานปรากฏการณ์การกระจายแสงเมื่อไม่นานมานี้ ในตอนนี้เสี่ยวหนิวเริ่มมีความสนใจและยอมรับในตัวสวีหยุน—หรือจะพูดให้ถูกก็คือท่านเซอร์หานลี่ที่อยู่เบื้องหลังเขา—ขึ้นมาลางๆ แล้ว
มิฉะนั้นเมื่อครู่นี้เขาคงไม่อธิบายอะไรยืดยาวให้สวีหยุนฟังหรอก
ดังนั้นเมื่อเผชิญกับคำขอของสวีหยุน เสี่ยวหนิวจึงยอมส่งปากกาให้ซึ่งเป็นเรื่องที่เกิดขึ้นได้ยาก
สวีหยุนรับปากกามา แล้ววาดรูปบนกระดาษอย่างรวดเร็ว
.............1
.......1......1
....1......2......1
1.....3.......3.........1 (โปรดละเว้นจุดไข่ปลา หากไม่ใส่ไว้ระบบฉีเตี่ยนจะย่อหน้าอัตโนมัติ มึนเลย)
.......
สวีหยุนวาดทั้งหมดแปดบรรทัด ตัวเลขสองตัวริมสุดของแต่ละบรรทัดล้วนเป็น 1 ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
เพื่อนๆ ที่คุ้นเคยกับภาพนี้คงจะรู้ว่า นี่คือสามเหลี่ยมหยางฮุยอันโด่งดัง หรือที่เรียกกันว่าสามเหลี่ยมปาสกาล—ในวงการคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติ ชื่อหลังจะได้รับการยอมรับมากกว่า
แต่ในความเป็นจริง ปีที่หยางฮุยค้นพบสามเหลี่ยมนี้เร็วกว่าปาสกาลถึงสี่ร้อยกว่าปี
หยางฮุยเกิดในยุคราชวงศ์ซ่งใต้ ในปี ค.ศ. 1261 เขาได้เก็บรักษาภาพอันล้ำค่าภาพหนึ่งไว้ในหนังสือ "อรรถาธิบายเก้าบทคณิตศาสตร์" นั่นคือภาพ "ต้นกำเนิดวิธีถอดราก" ซึ่งเป็นภาพสามเหลี่ยมที่เก่าแก่ที่สุดที่มีหลักฐานให้สืบค้นได้ในปัจจุบัน
ทว่าด้วยเหตุผลบางประการที่เป็นที่ทราบกันดี สามเหลี่ยมปาสกาลจึงแพร่หลายไปในวงกว้างมากกว่า บางคนถึงกับไม่ยอมรับชื่อสามเหลี่ยมหยางฮุยเลยด้วยซ้ำ
ดังนั้นแม้จะมีบันทึกลายมือต้นฉบับของหยางฮุย สามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์นี้ก็ยังคงถูกเรียกว่าสามเหลี่ยมปาสกาลอยู่ดี
แต่สิ่งที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงก็คือ...
เวลาที่ปาสกาลศึกษาภาพสามเหลี่ยมนี้คือปี ค.ศ. 1654 และเวลาที่ประกาศอย่างเป็นทางการคือช่วงปลายเดือนพฤศจิกายนปี ค.ศ. 1665 ซึ่งห่างจากตอนนี้...
ยังเหลือเวลาอีกหนึ่งเดือนเต็ม!
นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไมสวีหยุนถึงเริ่มต้นจากปรากฏการณ์การกระจายแสง
ปรากฏการณ์การกระจายแสงเป็นแบบจำลองทางอนุพันธ์ที่ชัดเจนมาก คลาสสิกยิ่งกว่าแรงโน้มถ่วงสากลเสียอีก ไม่ว่าจะเป็นมุมหักเหหรือรูปลักษณ์ "เจ็ดรวมเป็นหนึ่ง" ของมันเอง ต่างก็ชี้ตรงไปที่เครื่องมือแคลคูลัส
แนวคิดเรื่อง 1/7 นี้ ยิ่งเชื่อมโยงโดยตรงกับการแสดงเศษส่วนของเลขชี้กำลัง
หากเสี่ยวหนิวที่ได้สัมผัสกับปรากฏการณ์การกระจายแสงไม่นึกถึง 'วิชาฟลักเซียน' ที่ตัวเองกำลังมืดแปดด้านอยู่ล่ะก็ เขาก็สมควรไปอาบน้ำนอนได้แล้ว
เสี่ยวหนิวเห็นปรากฏการณ์การกระจายแสง——เสี่ยวหนิวเกิดความอยากรู้——เสี่ยวหนิวคำนวณข้อมูล——เสี่ยวหนิวนึกถึงวิชาฟลักเซียน——สวีหยุนดึงสามเหลี่ยมหยางฮุยออกมา
นี่คือกับดักแห่งความก้าวหน้าทางตรรกะที่สมบูรณ์แบบ แผนการที่เริ่มจากฟิสิกส์ไปสู่คณิตศาสตร์
ส่วนเหตุผลที่สวีหยุนวาดภาพนี้ออกมานั้นง่ายมาก
สามเหลี่ยมหยางฮุย คือหนามยอกอกที่ถอนไม่ออกในใจของผู้ปฏิบัติงานด้านคณิตศาสตร์ทุกคน!
เดิมทีสามเหลี่ยมหยางฮุยเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่บรรพบุรุษของเราคิดค้นขึ้นมาก่อนและมีหลักฐานแน่ชัด แล้วด้วยเหตุผลอะไรถึงต้องถูกบังคับให้ไปแขวนอยู่ใต้ชื่อของคนอื่นเพียงเพราะความอัดอั้นตันใจในยุคปัจจุบัน?
ห้วงมิติเวลาเดิมเขาจัดการไม่ได้และไม่มีความสามารถพอที่จะไปจัดการ แต่ในห้วงเวลานี้ สวีหยุนจะไม่ยอมให้สามเหลี่ยมหยางฮุยใช้ชื่อร่วมกับปาสกาลเด็ดขาด!
มีผู้อาวุโสนิวตันรับประกันให้ สามเหลี่ยมหยางฮุยก็คือสามเหลี่ยมหยางฮุย
คำนามที่เป็นของหัวเซี่ยเท่านั้น!
จากนั้นสวีหยุนก็พ่นลมหายใจขุ่นมัวในใจออกมา แล้วลงมือขีดเส้นสองสามเส้นลงไปต่อ
"นายนิวตัน คุณดูสิ ด้านเอียงสองด้านของสามเหลี่ยมนี้ประกอบด้วยตัวเลข 1 ส่วนตัวเลขที่เหลือล้วนเท่ากับตัวเลขสองตัวบนไหล่ของมันบวกกัน
ตัวเลข C(n,r) ใดๆ ที่อธิบายจากรูปภาพ ล้วนเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวบนไหล่ของมัน คือ C(n-1,r-1) และ C(n-1,r)"
ขณะที่พูด สวีหยุนก็เขียนสูตรลงบนกระดาษ
C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r) (n=1,2,3,···n)
รวมถึง...
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+6ab^3+b^4
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
ตอนที่สวีหยุนเขียนถึงช่องยกกำลังสาม สีหน้าของเสี่ยวหนิวก็เริ่มจริงจังขึ้นเรื่อยๆ
และเมื่อสวีหยุนเขียนถึงยกกำลังหก เสี่ยวหนิวก็ถึงกับนั่งไม่ติด
เขาลุกขึ้นยืน แย่งปากกาจากสวีหยุนมาเขียนเองเสียเลย
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6!
เห็นได้ชัดเจนเลย
ตัวเลขในบรรทัดที่ n ของสามเหลี่ยมหยางฮุยมี n พจน์ ผลรวมของตัวเลขคือ 2 ยกกำลัง n-1 สัมประสิทธิ์แต่ละตัวในนิพจน์กระจายของ (a+b) ยกกำลัง n จะสอดคล้องกับแต่ละพจน์ในบรรทัดที่ (n+1) ของสามเหลี่ยมหยางฮุยตามลำดับ!
แม้ว่านิพจน์กระจายนี้จะไม่มีความยากสำหรับเสี่ยวหนิวเลยแม้แต่น้อย ถึงขั้นเรียกได้ว่าเป็นการทำงานพื้นฐานของการกระจายทวินามด้วยซ้ำ
แต่นี่เป็นครั้งแรกที่มีคนนำตัวเลขถอดรากมาแสดงออกด้วยรูปภาพได้อย่างเห็นภาพชัดเจนขนาดนี้!
ที่สำคัญกว่านั้นคือ ตัวเลข m ตัวในบรรทัดที่ n ของสามเหลี่ยมหยางฮุยสามารถแสดงได้เป็น C(n-1,m-1) นั่นก็คือจำนวนการจัดหมู่ของการเลือกสมาชิก m-1 ตัวจากสมาชิกที่แตกต่างกัน n-1 ตัว
นี่ถือเป็นตัวช่วยอันยิ่งใหญ่สำหรับการอนุมานทวินามที่เสี่ยวหนิวกำลังดำเนินการอยู่อย่างไม่ต้องสงสัย!
แต่ว่า...
คิ้วของเสี่ยวหนิวก็ค่อยๆ ขมวดเข้าหากันอีกครั้ง
การปรากฏตัวของสามเหลี่ยมหยางฮุยเรียกได้ว่าช่วยเปิดแนวคิดใหม่ให้กับเขา แต่สำหรับปัญหาที่เขากำลังติดขัดอยู่ในตอนนี้ ซึ่งก็คือการกระจายของ (P+PQ)m/n กลับไม่ได้ช่วยอะไรมากนัก
เพราะสิ่งที่สามเหลี่ยมหยางฮุยเกี่ยวข้องคือปัญหาสัมประสิทธิ์ แต่สิ่งที่ทำให้เสี่ยวหนิวปวดหัวคือปัญหาเลขชี้กำลัง
ตอนนี้เสี่ยวหนิวก็เหมือนกับนักปั่นผู้ช่ำชอง
เมื่อเลี้ยวผ่านเส้นทางภูเขาแล้วจู่ๆ ก็พบว่าอีกร้อยเมตรข้างหน้าเป็นที่ราบเรียบ ทิวทัศน์งดงามตระการตา แต่ห่างออกไปสิบกว่าเมตรตรงหน้ากลับมีกองหินถล่มขนาดใหญ่ขวางทางอยู่
และในตอนที่เสี่ยวหนิวกำลังสับสน สวีหยุนก็พูดขึ้นมาอย่างช้าๆ อีกประโยคว่า
"จริงสิ นายนิวตัน ท่านเซอร์หานลี่ก็เคยศึกษาสามเหลี่ยมหยางฮุยมาบ้างเหมือนกัน
ต่อมาเขาพบว่าเลขชี้กำลังของทวินามดูเหมือนจะไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอไป เศษส่วนหรือแม้แต่จำนวนลบก็ดูเหมือนจะเป็นไปได้เช่นกัน"
"เขายังไม่ได้อธิบายวิธีพิสูจน์จำนวนลบ แต่ได้ทิ้งวิธีพิสูจน์เศษส่วนเอาไว้"
"เขาเรียกมันว่า..."
"การกระจายหานลี่!"
.....
