ภายในห้อง สวีหยุนกำลังพูดคุยอย่างฉะฉาน
"นายนิวตัน ท่านเซอร์หานลี่คำนวณพบว่า เมื่อเลขชี้กำลังในทฤษฎีบททวินามเป็นเศษส่วน สามารถใช้ e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ในการคำนวณได้ครับ"
พูดจบสวีหยุนก็หยิบปากกาขึ้นมา เขียนข้อความบรรทัดหนึ่งลงบนกระดาษ
เมื่อ n=0, e^x>1
"นายนิวตัน ตรงนี้เริ่มจาก x^0 การใช้ 0 เป็นจุดเริ่มต้นจะสะดวกต่อการพิจารณามากกว่า คุณน่าจะเข้าใจใช่ไหมครับ?"
เสี่ยวหนิวพยักหน้า เป็นเชิงบอกว่าตนเข้าใจ
จากนั้นสวีหยุนก็เขียนต่อไปว่า
สมมติว่าเมื่อ n=k ข้อสรุปเป็นจริง นั่นคือ e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k! (x>0)
ดังนั้น e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]>0
ถ้าเช่นนั้นเมื่อ n=k+1 ให้ฟังก์ชัน f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]! (x>0)
ต่อมาสวีหยุนก็วาดวงกลมล้อมรอบ f(k+1) แล้วถามว่า
"นายนิวตัน คุณมีความรู้เรื่องอนุพันธ์บ้างไหมครับ?"
เสี่ยวหนิวพยักหน้าอีกครั้ง ก่อนจะหลุดคำพูดสั้นๆ ได้ใจความออกมาสองพยางค์
"เข้าใจ"
เพื่อนๆ ที่เคยเรียนคณิตศาสตร์น่าจะรู้กันดี
อนุพันธ์และปริพันธ์เป็นองค์ประกอบที่สำคัญที่สุดของแคลคูลัส และอนุพันธ์ก็เป็นพื้นฐานของทั้งอนุพันธ์และปริพันธ์
ขณะนี้เป็นช่วงปลายปี 1665 ความรู้ความเข้าใจของเสี่ยวหนิวเกี่ยวกับอนุพันธ์นั้น แท้จริงแล้วได้ก้าวไปสู่ระดับที่ค่อนข้างลึกซึ้งแล้ว
ในด้านการหาอนุพันธ์ จุดเริ่มต้นของเสี่ยวหนิวคือความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร็ว = ระยะทาง / เวลา นี่คือสูตรที่แม้แต่เด็กประถมก็ยังรู้ แต่ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งล่ะ จะทำอย่างไร?
ตัวอย่างเช่น หากรู้ว่าระยะทาง s=t^2 แล้วเมื่อ t=2 ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง v จะเป็นเท่าใด?
วิธีคิดของนักคณิตศาสตร์ คือการแปลงปัญหาที่ไม่เคยเรียนให้กลายเป็นปัญหาที่เคยเรียนแล้ว
ดังนั้นนิวตันจึงคิดวิธีที่ชาญฉลาดมากวิธีหนึ่งขึ้นมา
เลือกช่วงเวลา "ที่สั้นมากๆ" △t ช่วงหนึ่ง แล้วคำนวณดูก่อนว่าในช่วงเวลาตั้งแต่ t=2 ถึง t=2+△t นั้น ความเร็วเฉลี่ยเป็นเท่าใด
v=s/t= (4△t+△t^2) /△t=4+△t
เมื่อ △t มีค่าน้อยลงเรื่อยๆ 2+△t ก็จะเข้าใกล้ 2 มากขึ้นเรื่อยๆ ช่วงเวลาก็จะแคบลงเรื่อยๆ
เมื่อ △t เข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ความเร็วเฉลี่ยก็จะเข้าใกล้ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งมากขึ้นเรื่อยๆ
หาก △t มีค่าน้อยจนเท่ากับ 0 ความเร็วเฉลี่ย 4+△t ก็จะกลายเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง 4
แน่นอนว่า
ในเวลาต่อมา บาร์กลีย์ได้ค้นพบปัญหาทางตรรกะบางอย่างของวิธีนี้ นั่นก็คือตกลงแล้ว △t เท่ากับ 0 หรือไม่
หากเท่ากับ 0 แล้วเวลาคำนวณความเร็วจะใช้ △t เป็นตัวส่วนได้อย่างไร? น้อยคนนักที่จะ... อะแฮ่ม เด็กประถมก็ยังรู้ว่า 0 เป็นตัวหารไม่ได้
แต่ถ้าหากไม่เท่ากับ 0 4+△t ก็จะไม่มีวันกลายเป็น 4 และความเร็วเฉลี่ยก็จะไม่มีวันกลายเป็นความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ตามแนวคิดของแคลคูลัสสมัยใหม่ บาร์กลีย์กำลังตั้งคำถามว่า lim△t→0 นั้นเทียบเท่ากับ △t=0 หรือไม่
แก่นแท้ของปัญหานี้ ในความเป็นจริงแล้วคือการตั้งคำถามต่อแคลคูลัสที่เพิ่งถือกำเนิดขึ้น การใช้คำศัพท์ที่มีความเคลื่อนไหวและคลุมเครืออย่าง "การแบ่งย่อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุด" มานิยามคณิตศาสตร์ที่แม่นยำนั้น เป็นเรื่องที่เหมาะสมจริงๆ หรือ?
การถกเถียงอย่างต่อเนื่องที่เกิดจากบาร์กลีย์ในครั้งนั้น คือวิกฤตการณ์ทางคณิตศาสตร์ครั้งที่สองอันโด่งดัง
ถึงขั้นมีกลุ่มคนที่มองโลกในแง่ร้ายประกาศว่า โครงสร้างทางคณิตศาสตร์กำลังจะพังทลายลง โลกของเราล้วนเป็นสิ่งจอมปลอม — แล้วคนพวกนี้ก็กระโดดตึกตายจริงๆ ยังมีรูปเคารพของพวกเขาหลงเหลืออยู่ในออสเตรีย นักตกปลาผู้ล้มเหลวบางคนเคยมีโอกาสไปเยี่ยมชมมาครั้งหนึ่ง ดูเหมือนคนแคระทั้งเจ็ดเลย ไม่รู้ว่ามีไว้ให้คนเคารพหรือประณามกันแน่
เรื่องนี้ดำเนินมาจนกระทั่งการปรากฏตัวของโคชีและไวเออร์สตราส ถึงได้มีคำอธิบายและข้อสรุปอย่างถ่องแท้ และเป็นการนิยามต้นไม้ที่นักเรียนรุ่นหลังหลายคนต้องไปแขวนคอตายอย่างแท้จริง
แต่นั่นก็เป็นเรื่องในภายหลัง ในยุคสมัยของเสี่ยวหนิวนั้น ความเป็นจริงในการนำคณิตศาสตร์แขนงใหม่ไปใช้งานถูกจัดให้อยู่ในอันดับแรก ดังนั้นความเข้มงวดแม่นยำจึงถูกมองข้ามไปบ้าง
ผู้คนมากมายในยุคนี้ล้วนแต่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์มาทำงานวิจัยไปพร้อมๆ กับนำผลลัพธ์ที่ได้มาปรับปรุงและพัฒนาเครื่องมือให้ดียิ่งขึ้น
บางครั้งก็อาจมีคนโชคร้ายบางคนที่คำนวณไปคำนวณมา แล้วจู่ๆ ก็พบว่างานวิจัยทั้งชีวิตของตัวเองนั้นแท้จริงแล้วผิดพลาด
สรุปก็คือ
ณ จุดเวลานี้ เสี่ยวหนิวยังค่อนข้างคุ้นเคยกับการหาอนุพันธ์ เพียงแต่ยังไม่ได้สรุปออกมาเป็นทฤษฎีที่เป็นระบบเท่านั้น
สวีหยุนเห็นดังนั้นก็เขียนต่ออีกว่า
หาอนุพันธ์ของ f(k+1) จะได้ f(k+1)'=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!
จากสมมติฐานทราบว่า f(k+1)'>0
ดังนั้นเมื่อ x=0
f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0
เพราะฉะนั้นเมื่อ x>0
เนื่องจากอนุพันธ์มีค่ามากกว่า 0 ดังนั้น f(x)>f(0)=0
เพราะฉะนั้นเมื่อ n=k+1 ทำให้ f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]! (x>0) เป็นจริง!
สุดท้ายสวีหยุนเขียนว่า
สรุปจากที่กล่าวมาทั้งหมด สำหรับ n ใดๆ จะได้ว่า
e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! (x>0)
เมื่ออธิบายจบ สวีหยุนก็วางปากกาหมึกซึมลง แล้วมองไปทางเสี่ยวหนิว
เห็นเพียงว่าในเวลานี้
ปรมาจารย์แห่งวงการฟิสิกส์ในยุคหลังท่านนี้กำลังเบิกตากว้าง จ้องเขม็งไปยังกระดาษทดที่อยู่ตรงหน้า
แน่นอนว่า
ด้วยความคืบหน้าในการวิจัยของเสี่ยวหนิวในปัจจุบัน ยังคงยากที่จะทำความเข้าใจความหมายที่แท้จริงของเส้นสัมผัสและพื้นที่
แต่คนที่เข้าใจคณิตศาสตร์ย่อมรู้ดีว่า ทฤษฎีบททวินามทั่วไปนั้น แท้จริงแล้วก็คือกรณีพิเศษของอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันตัวแปรเชิงซ้อน
อนุกรมนี้กับทฤษฎีบททวินามมีความสอดคล้องกัน และเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ก็สอดคล้องกับเครื่องหมายการจัดหมู่เช่นกัน
ดังนั้นทฤษฎีบททวินามจึงสามารถขยายจากเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนนับไปเป็นเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ และนิยามของการจัดหมู่ก็สามารถขยายจากจำนวนนับไปเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้เช่นกัน
เพียงแต่สวีหยุนแอบกั๊กเอาไว้ตรงนี้ โดยไม่ได้บอกเสี่ยวหนิวว่าเมื่อ n เป็นจำนวนลบ มันก็คืออนุกรมอนันต์
เพราะตามเส้นประวัติศาสตร์ปกติ ปริมาณอนันต์นั้นมาจากฝีมือของเสี่ยวหนิว ปล่อยให้ขั้นตอนการพิสูจน์เป็นหน้าที่ของเขาเองจะดีกว่า
ผ่านไปหลายนาที ในที่สุดเสี่ยวหนิวก็ดึงสติกลับมาได้
เห็นเพียงเขาเมินเฉยต่อสวีหยุนที่อยู่ข้างๆ แล้วพุ่งพรวดกลับไปที่นั่ง เริ่มทำการคำนวณอย่างรวดเร็ว
สวีหยุนมองเสี่ยวหนิวที่ทุ่มเทให้กับการคำนวณอย่างสุดตัวโดยไม่รู้สึกโกรธเคืองแต่อย่างใด เพราะท่านปรมาจารย์ก็มีนิสัยแบบนี้แหละ อาจจะดีขึ้นมาหน่อยก็ตอนอยู่ต่อหน้าวิลเลียม เอสคิวเท่านั้น
ซิก ซิก ซิก—
ไม่นานนัก
เสียงปลายปากกาสัมผัสกับกระดาษทดก็ดังขึ้น สูตรต่างๆ ถูกเขียนออกมาอย่างรวดเร็ว
สวีหยุนเห็นดังนั้นก็ครุ่นคิดอยู่ครู่หนึ่ง ก่อนจะหันหลังเดินออกจากห้องไป
เขาหามุมเหมาะๆ แถวริมกำแพงอย่างลวกๆ แล้วเงยหน้ามองดูเมฆที่ลอยคล้อยไปมา
และแล้วเวลาสองชั่วโมงก็ผ่านไปอย่างรวดเร็ว
ขณะที่สวีหยุนกำลังคิดคำนวณว่าก้าวต่อไปของตนควรจะเดินหมากอย่างไร ประตูบ้านไม้ก็ถูกผลักเปิดออก เสี่ยวหนิวพุ่งพรวดออกมาจากข้างในด้วยใบหน้าตื่นเต้น
ดวงตาของเขาเต็มไปด้วยเส้นเลือดฝอย เขาโบกกระดาษทดในมือไปทางสวีหยุนอย่างแรง
"เฟยอวี๋ จำนวนลบ ฉันพิสูจน์จำนวนลบออกมาได้แล้ว! ทุกอย่างกระจ่างชัดแล้ว!
เลขชี้กำลังทวินามไม่ต้องสนว่ามันจะเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบ เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน จำนวนการจัดหมู่เป็นจริงสำหรับทุกเงื่อนไข!
สามเหลี่ยมหยางฮุย ใช่แล้ว ก้าวต่อไปก็คือการศึกษาสามเหลี่ยมหยางฮุย!"
ไม่รู้ว่าเป็นเพราะตื่นเต้นเกินไปหรือเปล่า เสี่ยวหนิวถึงไม่ได้สังเกตเลยสักนิดว่าวิกผมของตัวเองหล่นลงไปกองกับพื้นแล้ว
เมื่อมองดูเสี่ยวหนิวที่มีใบหน้าแดงก่ำ ในใจของสวีหยุนก็อดไม่ได้ที่จะเกิดความรู้สึกฮึกเหิมที่ได้เปลี่ยนแปลงประวัติศาสตร์ขึ้นมาวูบหนึ่ง
ตามวิถีทางปกติ
เสี่ยวหนิวจะต้องรอจนถึงเดือนมกราคมปีหน้า หลังจากได้รับจดหมายจากจอห์น ทิสลีบอร์ท ถึงจะคิดออกและแก้ไขชุดข้อสงสัยและปัญหาต่างๆ ได้
และในจดหมายของจอห์น ทิสลีบอร์ทฉบับนั้น สิ่งที่กล่าวถึงก็คือรูปสามเหลี่ยมที่ปาสกาลเปิดเผยนั่นเอง
นั่นก็หมายความว่า......
จุดเปลี่ยนของประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในมิติเวลานี้ ได้ถูกเปลี่ยนแปลงเป็นครั้งแรกแล้ว!
เมื่อมีผลลัพธ์เบื้องต้นจากการกระจายทวินามแล้ว อีกไม่นานเสี่ยวหนิวก็จะต้องสร้างแบบจำลองเบื้องต้นของระเบียบวิธีฟลักชันขึ้นมาได้ภายใต้ความช่วยเหลือของสามเหลี่ยมหยางฮุยอย่างแน่นอน
เมื่อเป็นเช่นนี้
ชื่อของสามเหลี่ยมหยางฮุย ก็จะถูกจารึกไว้บนฐานของบัลลังก์แห่งคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นตำแหน่งที่สมควรจะเป็นของมันอยู่แล้ว!
แม้ว่าในอีกหลายร้อยปีข้างหน้า โลกจะเปลี่ยนแปลงไปมากเพียงใด ก็ยังคงไม่มีใครสามารถสั่นคลอนมันได้!
แสงสว่างแห่งปราชญ์ชาวจีนโบราณ จะไม่มีวันมัวหมองในเส้นเวลานี้ตลอดไป!
เมื่อคิดถึงตรงนี้ สวีหยุนก็อดไม่ได้ที่จะสูดลมหายใจเข้าลึกๆ แล้วรีบก้าวเดินไปข้างหน้า
"ขอแสดงความยินดีด้วยครับ นายนิวตัน"
เมื่อมองดูใบหน้าแบบชาวตะวันออกของสวีหยุนที่อยู่ตรงหน้า บนใบหน้าของเสี่ยวหนิวก็ปรากฏความรู้สึกซาบซึ้งใจขึ้นมา
ท่านเซอร์หานลี่ผู้ไม่เคยพบหน้ากันผู้นั้น เพียงแค่บันทึกไม่กี่แห่งที่ทิ้งไว้ก็สามารถขจัดเมฆหมอกให้ตนได้เห็นแสงสว่าง เพียงแค่อาศัยมือของเฟยอวี๋ผู้เป็นลูกศิษย์ที่ไม่รู้ว่าห่างกันกี่รุ่น ก็สามารถผลักบานประตูบานหนึ่งให้ตนได้
ถ้าเช่นนั้นความรู้ของท่านเซอร์หานลี่จะไปถึงระดับใดกันแน่?
อัจฉริยะที่สามารถคิดค้นการกระจายรูปแบบนี้ได้ จะเรียกว่าเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ก็คงไม่เกินจริงไปใช่ไหม?
เดิมทีตนคิดว่านายเดส์การตส์นั้นไร้เทียมทานในใต้หล้าแล้ว นึกไม่ถึงว่าจะมีคนที่เก่งกาจยิ่งกว่าเขาเสียอีก!
ดูเหมือนว่าเส้นทางสายคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของตนนั้น ยังคงมีภาระหนักอึ้งและหนทางอีกยาวไกล......
......
หมายเหตุ:
ทำไมดัชนีความนิยมถึงติดลบได้เนี่ย.....
