ภายในห้อง
เมื่อมองดูเสี่ยวหนิวที่มีใบหน้าเต็มไปด้วยความหงุดหงิด ในใจของสวีหยุนก็อดไม่ได้ที่จะเต็มไปด้วยความรู้สึกทึ่ง:
แม้ว่านิสัยใจคอของคนผู้นี้จะแย่เอามากๆ แต่สมองของเขานั้นสุดยอดเกินไปแล้วจริงๆ!
ลองดูเนื้อหาที่เขาพูดถึงสิ:
แคลคูลัสนั้นไม่ต้องพูดถึง เขายังกล่าวถึงแนวคิดเรื่องเวกเตอร์แนวฉาก แนวคิดเรื่องพลังงานศักย์ แนวคิดเรื่องทอร์กลัพธ์ ตลอดจนสมมติฐานเกี่ยวกับการเสียรูปขนาดเล็ก
แนวคิดเหล่านี้ทั้งหมดที่กล่าวมา ไม่ว่าจะเป็นเรื่องใด หากจะถูกเปิดเผยออกมาเป็นทฤษฎีอย่างเป็นทางการ อย่างเร็วที่สุดก็ต้องเป็นช่วงหลังปี 1807 ไปแล้ว
การก้าวกระโดดทางความคิดที่ข้ามผ่านเวลา 150 ถึง 200 ปีแบบนี้... ขอถามหน่อยเถอะว่าใครจะทำได้?
จริงอยู่ที่ว่า
ปัญหาที่ฮุกเสนอมานั้นความจริงแล้วง่ายมาก ง่ายเสียจนวิธีแก้ปัญหาที่สวีหยุนนึกออกในวินาทีแรกนั้นมีเกือบยี่สิบวิธี วิธีที่เร็วที่สุดก็เพียงแค่ตั้งระบบพิกัดที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียน แล้วใช้อนุพันธ์โคแวเรียนต์ก็สามารถแก้ปัญหาได้แล้ว
แต่ก็อย่าลืมว่า ความรู้ของสวีหยุนนั้นได้มาจากการศึกษาของคนในยุคหลัง ซึ่งทฤษฎีพื้นฐานในเวลานั้นได้รับการสรุปและรวบรวมไว้อย่างสมบูรณ์แบบแล้ว
มันก็เหมือนกับในยุคที่สามารถควบคุมปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชันได้แล้ว ต่อให้หลับตาก็ยังสามารถสร้างเครื่องยนต์ขนาด 200 ซีซีขึ้นมาได้
แต่เสี่ยวหนิวล่ะ?
เขาอยู่ในยุคที่ยังต้องปั่นไม้จุดไฟ แต่สายตากลับมองทะลุไปถึงสมการคำนวณค่าซีเทนของเครื่องยนต์สันดาปภายใน มันช่างหลุดโลกอะไรเช่นนี้!
เมื่อคิดมาถึงตรงนี้ ในใจของสวีหยุนก็รู้สึกอยากหัวเราะออกมาอย่างบอกไม่ถูก:
เขาเคยเขียนนิยายอยู่เรื่องหนึ่ง ผลปรากฏว่าอย่าว่าแต่นิวตันเลย แม้แต่แมกซ์เวลล์ก็ยังถูกนักอ่านบางคนวิจารณ์ว่า 'ไปค้นดูแล้ว ก็แค่ระบบสมการเดียวเองนี่'
จากนั้นเขาก็สูดหายใจเข้าลึกๆ แล้วดึงสติกลับมายังสถานการณ์ตรงหน้า:
"นายนิวตัน แนวคิดนี้ของคุณผมเห็นด้วยอย่างยิ่งครับ แต่เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่เป็นที่รู้จักซึ่งต้องนำมาใช้นั้นมีค่อนข้างเยอะ ด้วยความคืบหน้าของการวิจัยในวงการคณิตศาสตร์ปัจจุบัน ดูเหมือนว่าจะยังไม่เพียงพอ..."
เสี่ยวหนิวพยักหน้า ยอมรับในจุดนี้อย่างเปิดเผย:
"ถูกต้อง แต่นอกเหนือจากนี้แล้ว ก็จำเป็นต้องใช้การกระจายหานลี่อย่างที่คุณว่ามา"
พูดจบเสี่ยวหนิวก็ก้มหน้าลงไปอีกครั้ง แล้วเขียนสมการออกมาอีกหนึ่งบรรทัดอย่างรวดเร็ว:
V(r) = V(re) + V'(re)(r-e) + [V''(re)/2!](r-re)^2 + [V'''(re)/3!](r-re)^3......
จากนั้นเสี่ยวหนิวก็ขีดเส้นใต้สมการบรรทัดนี้ ขมวดคิ้วแล้วกล่าวว่า:
"ถ้าใช้การกระจายหานลี่ แล้วคุณสมบัติของลูกบอลเด้งดึ๋งในบริเวณที่ใกล้เคียงกับตำแหน่งที่เสถียรควรจะเป็นอะไรล่ะ? นี่ควรจะเป็นอนุกรมรูปแบบหนึ่ง แต่การแบ่งแยกมันก็เป็นปัญหาอีกอย่างหนึ่ง"
สวีหยุนเงยหน้าขึ้นมองเขาแวบหนึ่ง ก่อนจะพูดว่า:
"นายนิวตัน ถ้าหากเรานำตำแหน่งที่เสถียรมาคำนวณเป็นค่าต่ำสุดล่ะครับ?
เราจะสมมติว่ามีสถานะการเข้าใกล้ทางคณิตศาสตร์อยู่รูปแบบหนึ่ง นั่นก็คือ... การเข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่มีที่สิ้นสุด?"
"เข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่มีที่สิ้นสุดงั้นหรือ?"
ไม่รู้ว่าเพราะเหตุใด จู่ๆ ในใจของเสี่ยวหนิวก็เกิดความรู้สึกแปลกประหลาดขึ้นมา ราวกับได้เห็นลิซ่าเดินควงแขนออกมาจากห้องนอนกับคนอื่นอย่างไรอย่างนั้น
แต่ไม่นานเขาก็โยนความรู้สึกนี้ทิ้งไปไว้เบื้องหลัง ครุ่นคิดอยู่ครู่หนึ่งแล้วกล่าวว่า:
"นั่นมันก็หลักการเดียวกับระเบียบวิธีตัดวงกลมไม่ใช่หรือ?"
ระเบียบวิธีตัดวงกลม ซึ่งก็คือแนวคิดในยุคแรกเริ่มของการคำนวณค่าพาย คนที่เคยเรียนชั้นประถมก็น่าจะรู้จักวิธีนี้กันดี
ความจริงแล้วมันแฝงนัยถึงแนวคิดแบบนี้:
แม้ว่าปริมาณสองค่าจะมีความแตกต่างกัน แต่ตราบใดที่สามารถทำให้ความแตกต่างนี้ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ก็สามารถถือได้ว่าในท้ายที่สุดปริมาณทั้งสองค่าจะเท่ากัน
ในยุคนี้ ระเบียบวิธีตัดวงกลมถือว่าเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ถูกทอดทิ้งไปแล้ว ด้วยความสามารถทางคณิตศาสตร์ระดับที่สวีหยุนสามารถพูดถึงการกระจายหานลี่ออกมาได้อย่างง่ายดาย ในทางทฤษฎีเขาไม่ควรทำผิดพลาดด้วยการถอยหลังเข้าคลองทางความคิดแบบนี้
เมื่อเผชิญกับข้อสงสัยของเสี่ยวหนิว สวีหยุนก็ส่ายหน้าเบาๆ แล้วพูดว่า:
"นายนิวตัน แนวคิดที่คุณพูดถึงคือตัวแปรที่ไม่ใช่อนุกรม แต่ถ้าก้าวไปอีกขั้นล่ะครับ เปลี่ยนไปทำความเข้าใจว่ามันคือตัวแปรอนุกรม?
หรือก้าวไปให้ไกลยิ่งกว่านั้น มองว่ามันเป็น... ค่าคงที่ซึ่งหลุดพ้นจากกรอบของจำนวนจริงไปเลยล่ะครับ?"
"เข้าใกล้ศูนย์ ตัวแปรอนุกรม? ค่าคงที่?"
เมื่อได้ยินคำพูดเหล่านี้ของสวีหยุน เสี่ยวหนิวก็ถึงกับชะงักงันไปในทันที
แนวคิดเรื่องปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ นี่คือปัญหาที่ทำให้นักศึกษามหาวิทยาลัยสายอู้งานนับไม่ถ้วนต้องสอบตกมาแล้วนักต่อนัก
โดยทั่วไปแล้ว
ความเข้าใจต่อปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ของคนคนหนึ่งตั้งแต่ระดับปริญญาตรีไปจนถึงปริญญาเอก จะต้องผ่านสามระยะ
ปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ในระยะแรกและระยะที่สองล้วนเป็นตัวแปร เมื่อทำความเข้าใจถึงระยะที่สาม ปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ทั้งหมดจะกลายเป็นค่าคงที่ และปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์แต่ละค่าก็จะสอดคล้องกับค่าคงตัวค่าหนึ่ง
ค่าคงตัวเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในกรอบของจำนวนจริง แต่ล้วนเกิดจากสัจพจน์ของแบบจำลองการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน
ระยะแรกคือความเข้าใจในตอนที่เรียนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ชั้นสูงในมหาวิทยาลัย นั่นก็คือปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์นั้นอยากให้เล็กแค่ไหนก็เล็กได้แค่นั้น
กล่าวคือค่าสัมบูรณ์ของปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ทั้งบวกและลบ จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนจริงบวกใดๆ ที่กำหนดให้
ระยะที่สองคือตอนที่เรียนการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน สูตรแคลคูลัสจำนวนมากได้นำปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์เข้ามาใช้ ทำให้เกิดแนวคิดอย่างเช่นเรื่องอันดับขึ้นมา
ระยะที่สามคือตอนที่ทำความรู้จักกับทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในเวลานี้ปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์สามารถกลายเป็นค่าคงที่ได้แล้ว
เมื่อตระหนักได้ว่าปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์คือค่าคงที่ ก็จะพบว่ายังมีโลกคณิตศาสตร์ที่กว้างใหญ่ไพศาลยิ่งกว่าดำรงอยู่ โลกคณิตศาสตร์ใบนี้ทั้งกว้างกว่า ลึกซึ้งกว่า และซับซ้อนกว่าโลกคณิตศาสตร์ที่เป็นที่รู้จักในปัจจุบัน ทำให้เกิดแนวคิดลิมิตประเภทที่สองและโครงสร้างทางเรขาคณิตของมันขึ้นมา แนวคิดลิมิตประเภทที่สองนั้นถูกกำหนดโดยปริภูมิที่ใหญ่เป็นอนันต์ ส่วนแนวคิดลิมิตของการวิเคราะห์แบบมาตรฐานถูกกำหนดโดยปริภูมิที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์
จากนั้นก็ปรากฏปรากฏการณ์ความเข้ากันได้ระหว่างเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบนอกยุคลิด ซึ่งสามารถระบุพิกัดของจุดตัดขนานได้อย่างแม่นยำ
สถานการณ์ที่กล่าวมาข้างต้นยังได้แตกแขนงออกไปเป็นเรขาคณิตแบบไม่ธรรมดาอีกมากมาย ซึ่งพวกมันไม่ใช่ทั้งเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบนอกยุคลิด แต่จัดเป็นเรขาคณิตประเภทที่สาม (เรขาคณิตแบบจีน) เป็นต้น
แล้วการทำความเข้าใจปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ในระยะที่สามนั้นมีความหมายในทางปฏิบัติอย่างไรล่ะ?
พูดให้ตรงประเด็นที่สุดก็คือ คุณสามารถไปสร้างซูเปอร์คอมพิวเตอร์ได้แล้วนั่นเอง
ปัจจุบันในประเทศจีน สถาบันที่ทำการวิจัยระยะที่สามได้ลึกซึ้งที่สุดก็คือ มหาวิทยาลัยวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีแห่งประเทศจีน ควอนตัมคอมพิวเตอร์ของนักวิชาการพานเจี้ยนเหว่ยและศาสตราจารย์ลู่เฉาหยางก็เป็นหนึ่งในภาพสะท้อนที่ชัดเจนในด้านนี้
เพื่อนๆ ที่เคยเข้าร่วมการสัมภาษณ์งานวิจัยและพัฒนาอัลกอริทึมของซูเปอร์คอมพิวเตอร์น่าจะรู้กันดีว่า ความเข้าใจระยะที่สามของปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์นั้นเป็นข้อสอบที่ต้องเจอในการสัมภาษณ์อย่างแน่นอน
แม้ว่าความรู้ทางทฤษฎีของเสี่ยวหนิวในเวลานี้จะยังไม่ได้สมบูรณ์แบบนัก แต่ในฐานะผู้คิดค้นและรากฐานของแคลคูลัส—โดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดเรื่องปริมาณที่เล็กเข้าใกล้ศูนย์ เขาก็พอมองเห็นเค้าลางและตอบสนองต่อข้อมูลเหล่านี้ได้เลือนราง
จากนั้นสวีหยุนก็หยิบปากกามาเขียนต่อ:
สมมติว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีหนึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่ตำแหน่งสมดุล ดังนั้นอย่างน้อยที่สุดก็สามารถเก็บไว้ได้จนถึงการประมาณค่าลำดับที่สอง ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วก็จะได้รูปแบบความสัมพันธ์กำลังสองระหว่างพลังงานศักย์กับปริมาณการเบี่ยงเบนของสมดุล:
V(r) ≈ [V''(re)/2!](r-re)^2
V(r) ≈ k/2(r-re)^2
เขียนมาถึงตรงนี้
สวีหยุนก็วางปากกาลง มองดูเสี่ยวหนิวที่กำลังเหม่อลอยเล็กน้อย ก่อนจะหันหลังเดินจากไปอย่างเงียบๆ
ก่อนออกจากห้อง เขาหยิบน้ำตาลทรายขาวหนึ่งห่อเล็ก เกลือเล็กน้อย เนยครึ่งช้อน เบ้าหลอมโลหะที่ไม่ได้ใช้งานหนึ่งใบ และมันฝรั่งสองหัวจากบนโต๊ะ—ของอย่างแรกๆ ล้วนเป็นเครื่องปรุงที่ใช้เป็นประจำในมื้อเช้าและมื้อค่ำ ส่วนสองอย่างหลังคือเสบียงสำรองสำหรับใช้ในยามฉุกเฉิน
แล้วเขาก็เดินเขย่งปลายเท้า ปิดประตูลงอย่างแผ่วเบา
เสี่ยวหนิวไม่ได้แสดงท่าทีใดๆ ต่อเรื่องนี้ เขาเพียงแค่มองดูสมการของสวีหยุนอย่างเหม่อลอย โดยเฉพาะเครื่องหมายประมาณค่านั้น
ผ่านไปไม่กี่นาที
ลูกกระเดือกของเขาก็ขยับขึ้นลงหลายครั้ง จู่ๆ ในปากก็ส่งเสียงกลืนน้ำลายดังอึกๆ ออกมาหลายที
ครู่ต่อมา เขาก็พุ่งพรวดกลับไปที่ที่นั่ง แล้วลงมือขีดเขียนปากกาอย่างรวดเร็ว
สามชั่วโมงต่อมา
ได้ยินเพียงเสียงดังโครม เสี่ยวหนิวก็พุ่งพรวดพราดออกจากประตูไป
อืม พุ่งพรวดพราดออกจากประตูในความหมายทางกายภาพจริงๆ—เขาชนประตูจนหลุดออกมา แล้วก็หิ้วมันติดมือมาด้วยเลย
ช่วยไม่ได้จริงๆ บ้านหลังนี้มันเก่าเกินไปแล้ว
ขณะนี้เป็นเวลาสองทุ่มกว่า ดังนั้นในแวบแรกเสี่ยวหนิวจึงมองเห็นกองไฟกองหนึ่งอยู่ไม่ไกล รวมถึงใบหน้าของสวีหยุนที่สะท้อนกับแสงไฟ
เสี่ยวหนิวเดินแกมวิ่งเข้าไปหาเขา กล่าวด้วยความตื่นเต้นว่า:
"เฟยอวี๋ ฉันคำนวณออกมาได้แล้ว มันคือแรงที่แปรผันตรงตามระยะทางอย่างเป็นเชิงเส้น มันคือแรงยืดหยุ่น!
รูปแบบที่เฉพาะเจาะจงของมันไม่ได้มีข้อกำหนดใดๆ พูดอีกอย่างก็คือ ระบบใดๆ เมื่ออยู่ใกล้กับสภาวะคงตัว ล้วนจะแสดงพฤติกรรมความยืดหยุ่นออกมา!
นี่คือสมการที่ยังไม่เคยมีใครค้นพบ เป็นทฤษฎีบทภายใต้สภาวะคงตัว ฉันกล้าพนันเลยว่าฮุกเองก็ยังไม่สามารถพิสูจน์มันออกมาได้ เพราะฟังก์ชันที่เขาให้มาดันมีพจน์อันดับศูนย์ซะงั้น!"
เสี่ยวหนิวตะโกนบอกสวีหยุนไปพลางวิ่งไปพลาง เมื่อเขามาถึงข้างกองไฟถึงเพิ่งพบว่า ตอนนี้สวีหยุนกำลังก้มหน้าก้มตา ทำเสียงฮึดฮัดง่วนอยู่กับอะไรบางอย่าง:
"เฟยอวี๋ นี่คุณกำลัง...?"
"นายนิวตัน คุณมาได้จังหวะพอดีเลย"
เมื่อมองดูเสี่ยวหนิวที่อยู่ตรงหน้า สวีหยุนก็หยิบจานอาหารขึ้นมา ยิ้มอย่างเบิกบาน:
"มันฝรั่งอบเพิ่งเสร็จใหม่ๆ จิ้มกับซอสแล้วอร่อยสุดๆ ไปเลยครับ"
"ซอส? ซอสอะไร?"
"ซอสมะเขือเทศครับ"
.......
หมายเหตุ:
ยังจำมะเขือเทศที่พูดถึงตอนแนะนำอุปกรณ์ทานอาหารก่อนหน้านี้ได้ไหม เอิ๊กๆ....
